Hommage an Euler

“Hommage an Euler” [on:] 2018
Bilderserie
Das Unendliche im Endlichen, das Endliche im Unendlichen
oder
die wichtigsten Symbole der Mathematik und eine der schönsten Formeln anders gesehen

Leonhard Euler hat sich intensiv mit unendlichen Reihen, deren Summen und Produkten beschäftigt und dabei seine eigene „Technik“ entwickelt. Er ist zu vielen sehr interessanten und vor allem kontra-intuitiven Ergebnissen gekommen. (vor allem alternierende und divergierende Folgen) Bspw. ist die alternierende Summe von 1-1+1-1+… = ½,
oder die unendliche Summe der natürlichen Zahlen 1+2+3+4+5+… = -1/12.

In seiner berühmten Formel e^i·π + 1 = 0 sind nicht nur alle positiven Rechenarten – Addieren, Multiplizieren und Potenzieren –, sondern auch die wichtigsten Zahlen/Symbole enthalten: e, i, π, 1 und 0. In dieser Serie werden die Zahlen in ihrer unendlichen Reihenentwicklung dargestellt, um dem Ergebnis 0 der Rechenoperation eine tiefere/philosophische Bedeutung zu geben.

Entscheidend ist dabei immer das Unendliche der Summe. Bricht man divergierende Folgen im Endlichen irgendwo ab, nähern sie sich immer schneller immer größeren Werten an, sie streben also gegen unendlich groß. Euler beschreibt so mit unendlichen Summen endliche Werte, oft ganze Zahlen oder einfache Brüche.

Die Unendlichkeit steckt also im Endlichen. Unsere physische Wirklichkeit ist in unserer Wahrnehmung aber endlich. Hier ist eine Grenze der Mathematik, die eine Metaphysik notwendig macht, die eine 2-wertige Logik nicht liefern kann, um Widersprüchlichkeiten aus dem Weg zu gehen.

Ebenso kommt Euler mit diesen Verfahren zu Ausdrücken mit transzendenten Zahlen, die bis heute noch am wenigsten erforschten Zahlen. Sie sind deswegen philosophisch am interessantesten, weil sie sich der 2-wertigen Logik der Mathematik am weitesten entziehen.
Die Eigenschaft der transzendenten Zahl ist es, dass sie nicht durch irgendeine mathematische Gleichung dargestellt werden kann, unendlich lang ist und keinerlei Periodizität aufweist. Zu den ältesten bekannten transzendenten Zahlen gehören die Kreiszahl π und der Goldene Schnitt φ.

Leonhard Euler hat eine solche Zahl gefunden, die wegen ihrer großen Bedeutung für die Mathematik nach ihm benannt wurde.
Es ist die Eulersche Zahl
2,71828182845904523536028747135266249775724709369995 … ,
die mit dem Symbol e dargestellt wird.
Es gibt mehrere Arten sich dem Wert dieser Zahl zu nähern, aber der am weitesten klarste Weg ist die unendliche Summe der inversen (reziproken) Fakultäten.

„Hommage an Euler 1“ 110 x 110 cm ist die Darstellung des Symbols für die Eulersche Zahl mit der unendlichen Summe. e ist die Basis des natürlichen Logarithmus.

 

 

 

 

 

 

 

„Hommage an Euler 2“ 110 x 110 cm ist die Darstellung der sogenannte e-Funktion ex , deren Ableitung sie selber ist, d.h. der Funktionswert für jedes x entspricht der Steigung der Kurve für jedes x.
Für x als komplexe Zahl ergibt sich der Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene.

 

 

 

 

 

 

 

„Hommage an Euler 3“ 110 x 110 x 5 cm ist die Darstellung der Zahl 4 als Quadrat von 2.
Schon sprachlich ist hier das Quadrat – die geometrische Form – beinhaltet, die genau wie ihr quantitativer Wert endlich ist in der 2-Dimensionalität. Die unendliche Summe der Potenzen von ½ ist 2.
Das Möbiusband ist eine 2-dimensionale Fläche. Die beiden Möbiusbänder (u.r.) sind jeweils in der anderen Richtung verdreht und stehen senkrecht aufeinander.

 

 

 

 

 

 

 

„Hommage an Euler 4“ 110 x 110 x 5 cm ist die unendliche alternierende Summe der natürlichen Zahlen, deren Wert ¼ ist.
Die 4 rechten Winkel des Quadrats werden zu einem einzigen im 4-dimensionalen Körper.
Beide Ebenen des Quadrats werden selbstdeckend aufgerollt. Bei der ersten Ebene entsteht ein 3-dimensionaler Körper mit 2 rechten Winkeln. Dabei wird die eine der beiden Dimensionen (Ebenen) geteilt und es entsteht die 3. Dimension. Konsequent fortgeführt entsteht das 4-dimensionale Quadrat mit 1 rechten Winkel: ¼ des Quadrats.

 

 

 

 

 

 

 

„Hommage an Euler 5“ 110 x 110 cm ist eine Darstellung von i, der Wurzel aus -1, der imaginären Einheit in der Gaußschen Zahlenebene. Die unendliche Summe der 2er Potenzen ist -1 und Wurzelziehen entspricht dem Ausdruck „hoch ½“. Die Multiplikation einer reellen Zahl mit i ist eine Drehung um 90° nach links in der Gaußschen Zahlenebene.

 

 

 

 

 

 

 

„Hommage an Euler 6“ 110 x 110 cm ist eine Darstellung der Kreiszahl π.
Euler hat verschiedene unendliche Reihen gefunden hat, in deren unendlichen Summe π enthalten ist. Die alternierende Summe der ungeraden Brüche ist π/4. Die alternierende Summe der natürlichen Zahlen ist ¼. Der Querstrich des π ist der Bruchstrich für diese beiden Summen.

 

 

 

 

 

 

 

„Hommage an Euler 7“, „Das Nichts im Nichts“ 110 x 110 cm beschreibt die Null als Platzhalter für alles Mögliche. Die „Leere Menge“, { }, läßt sich unendlich oft in die „Leere Menge“ { … { … { } … } … } stecken. Unendliche Möglichkeiten den Platzhalter zu füllen. Das unendliche Potential im Nichts der 0.